培玉 · 一试
2018 年天津预赛 · 第 11 题
F3填空题平面几何综合
凸六边形 的 条边长相等，内角 分别为 ，则内角 是 （用度数作答）。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
等边长和前三个角把A、C以及F、D确定成两组关于B角平分线对称的点。
思路
计算DF后，最后的等腰三角形DEF就确定角E。
解答
将公共边长归一化为1，取 ，角B的平分线为横轴，则
按凸六边形的转向，A、C处的外角均为46°，所以
因此
又DE=EF=1，在等腰三角形DEF中，余弦定理给
凸六边形内角在0°至180°之间，故
复核
DF=2cos23°严格在0与2之间，末三角形非退化。A、C的两个转向分别由凸性及外角46°确定，不能反向拼接；面积或具体图形尺度不参与结果。
方法总结
连续等边多边形给定相邻角时，可先按外角追踪边方向，把剩余部分降成一个等腰三角形；凸性负责固定转向。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
连续等边多边形的已知内角须转成有向外角追踪后续边，用凸性固定拼接方向；求出剩余一条对角线后，末端等腰三角形的余弦定理才确定所求角。
已记下，谢谢！