2024 年广东预赛

解答

令 $t={\log }_3\sqrt{y}$，则 $\sqrt{y}=3^t$ 且 ${\log }_{3}y=2t$。由前两个式子相等，

即

函数 $u\mapsto 3^u+2u$ 在实数集上严格递增，故 $x=t$，于是 $y=3^{2x}$。第三个公共值化为

所以 $3^x-2x=5$。函数 $3^x-2x$ 在 $x\ge 1$ 上严格递增，而 $0<x<1$ 时其值小于 $3$；又 $x=2$ 满足等式，故唯一解为 $x=2$。因此