同一骨架 2026 年上海预赛 · P006138
边长给定而圆的大小未知时，两题都把每条边当作同一圆的弦，用角度把它们联系起来。先用内接图形的角度总关系消去局部角，再确定共同的尺度。
四边形利用对角关系，六边形利用重复弦长与整周关系；共同点是所有边共享一个圆。
培玉 · 一试
2024 年江苏预赛
F2填空题平面几何综合
设圆内接四边形 的边长分别为 ，则该圆的直径长为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
用同一条对角线分别在两个三角形中写余弦定理，再利用圆内接四边形对角互补。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
令 。由余弦定理，
因为 ，故 ，解得 。于是 ，从而 。由正弦定理，圆的直径为
复核
所得对角线同时满足两个三角形的三边不等式，且 。
方法总结
已知圆内接四边形四边时，可用对角互补把两次余弦定理联立，再由正弦定理求直径。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
以同一对角线分别列两对角的余弦式，借互补消去角，再用正弦定理求圆直径。
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