2011 年河北预赛 · 第 11 题

解答

对 $k\ge 2$，有 $2(1/\sqrt{k}-1/\sqrt{k+1})<1/k^{3/2}<2(1/\sqrt{k-1}-1/\sqrt{k})$，可用根号有理化直接比较。上界求和得 $S_n<1+2(1-1/\sqrt{n})<3$。当 $n\ge 23$ 时，正项性给 $S_n\ge S_{23}>1+2(1/\sqrt{2}-1/\sqrt{24})=1+\sqrt{2}-1/\sqrt{6}>2$。最后一步由 $17>12\sqrt{2}$ 可核，因 $17^2>288$。所以 $\boxed{2<S_n<3}$。