2017 年湖南预赛 · 第 16 题

解答

令 $u=(x+y)/\sqrt{2},v=(x-y)/\sqrt{2}$，椭圆写成 $A(u^2+v^2)+2Buv=1$，其中 $A=(m+n)/2,B=(m-n)/2$，$A>|B|$。原弦为 $v=t$，其中点 $E=(-Bt/A,t)$，半弦长平方 $h^2=[1-(A-B^2/A)t^2]/A$。垂直平分线为 $u=-Bt/A$，其弦中点 $F=(-Bt/A,B^{2}t/A^2)$，半弦长平方 $g^2=[1-(A-B^2/A)B^2{t}^2/A^2]/A$。相减得 $g^2-h^2=t^2(1-B^2/A^2{)}^2=E{F}^2$，所以 $\boxed{C{D}^2-A{B}^2=4E{F}^2}$。又 $FE\perp AB$，故 $F{A}^2=F{B}^2=F{E}^2+h^2=g^2=F{C}^2=F{D}^2$，四点都在以 $F$ 为圆心、$g$ 为半径的圆上，得 $\boxed{A,B,C,D\text{ 共圆}}$。