2010 年安徽预赛 · 第 10 题

解答

$2010=2\cdot 3\cdot 5\cdot 67$。模 $5$ 有

模 $67$ 有 $(2n+1{)}^2\equiv 39\equiv 21^2(\mathrm{mod}67)$。由于 $67$ 为素数，故

将两类分别与 $n\equiv 2(\mathrm{mod}5)$ 合并，得到

因此任何满足原整除条件的正整数都至少为 $77$。而

该候选确实满足全部条件，故