2014 年湖南预赛 · 第 12 题

解答

约束给 $2\le x\le y\le 3$。令 $t=x/y$，则 $2/3\le t\le 1$，且每个这样的值可由 $y=3,x=3t$ 实现。所需比值为 $R(t)=(x+y{)}^2/(x^2+y^2)=(1+t{)}^2/(1+t^2)$，其导数为 $2(1-t^2)/(1+t^2{)}^2\ge 0$。故全域最小值在 $t=2/3$ 为 $25/13$。参数恒成立要求 $a\le R(t)$，所以最大值为 $\boxed{25/13}$。