2008 年湖北预赛 · 第 6 题

解答

设下底 $AB=L$，上底 $CD=l$，其中 $L>l>0$，高为 $h>0$。腰长 $q=\sqrt{(L-l{)}^2/4+h^2}$，对角线长 $d=\sqrt{(L+l{)}^2/4+h^2}$。双曲线的两焦距离为 $L$，距离差为 $d-q$，所以 $e_1=L/(d-q)$；椭圆的两焦距离为 $l$，距离和为 $d+q$，所以 $e_2=l/(d+q)$。又 $d^2-q^2=Ll$，故 $\boxed{e_1{e}_2=1}$。