2026 年广东预赛

思路

垂心面积比 $[BCH]:[CAH]:[ABH]=\tan A:\tan B:\tan C$ 可由 $AH=2R\cos A$ 和 $[ABH]=AH\cdot BH\sin C/2$ 等式推得。再用三角形正切恒等式 $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$。

想法从哪来：三个小面积首先给出总面积，但单靠面积和不能直接确定外接圆。还缺角的形状信息，垂心正好把面积比和角联系起来。可先把每个小面积写成“边乘垂心到该边的距离的一半”，再利用高线与外接圆关系，将它们化为与三个角正切成比例的量。 于是三个正切只差一个公共倍数，角和条件就成了求这个倍数的方程。锐角前提在这里很有用：所有正切均正，求正弦时可以直接取正根。最后用正弦定理把三边全换成半径与正弦，面积公式便把总面积、角形状和半径连起来。

垂心的重心坐标与 $\tan A,\tan B,\tan C$ 成比例，所以三个小三角形面积直接给出三个角的正切比。再由正切和公式确定比例系数，最后用 $\Delta =2R^2\sin A\sin B\sin C$ 求外接圆半径。