2014 年辽宁预赛 · 第 3 题

解答

由 $b^2=ac$ 和余弦定理，$\cos B=(a^2+c^2-ac)/(2ac)\ge 1/2$，所以 $0<B\le \pi /3$。反之 $a/c+c/a=1+2\cos B$，该区间的每个 $B$ 都能由正边长实现非退化三角形。函数 $\sin B+\cos B$ 在 $B=\pi /4$ 时取最大值 $\sqrt{2}$；其在 $(0,\pi /3]$ 的值均大于1，且当 $B\to 0^{+}$ 时趋于1。因此范围为 $\boxed{(1,\sqrt{2}]}$，选 B。