同一骨架 2026 年江西预赛 · P006081
两题都把三角量改写为一个有界实参数，用平方关系消去另一种三角表达式。代数化后的优化不能脱离原来的三角值域，最终还须给实际角度或函数零点来确认参数可实现。
一题的约束直接消去余弦，另一题从存在零点得到一族参数直线；后者还需固定三角参数后再消去一个系数。
培玉 · 一试
2017 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 2 题
F2填空题函数的值域
若实数 满足 ，则 的取值范围是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
条件可直接消去 ，但必须同时保留余弦的取值限制，才能确定二次函数的自变量区间。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
由 ，得到 ；反过来，区间中每个 都对应某个实数 。于是
顶点 在该区间内，最小值为 。比较两端点，最大值为 ，在 时取得。由连续性，取值范围为
复核
下端点可取 ；上端点可取 ，均满足原条件。
方法总结
消元求值域要同时证明新变量范围的必要性与可实现性，再检查顶点和端点。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
把余弦消去并确定x的完整区间，再比较顶点和端点，关键模型明确。
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