2010 年天津预赛 · 第 3 题

解答

记 $p_0=1,p_i=x_1{x}_2\cdots x_i>0$。有 $x_i/p_{i-1}+4/p_i-4/p_{i-1}=(x_i-2{)}^2/p_i$。对 $i=1,\dots ,2010$ 求和，中间倒数相消，原目标恰为 $4+{\sum }_{i=1}^{2010}(x_i-2{)}^2/p_i\ge 4$。取全部 $x_i=2$ 即同时取等，故最小值为 $\boxed{4}$。