2026 年四川预赛

解答

设

抛物线上参数为 $t$ 的点为

其切线方程为

该切线经过 $P$ 当且仅当

即

设 (1) 的两个根为 $r,s$。其判别式 $p^2+4>0$，故始终有两个不同切点，并且

于是

设 $△PMN$ 的外心为 $H=(X,Y)$。由 $HM=HN$，

注意到

以及

约去 $s-r\ne 0$，得到

再把 $HM=HP$ 与 $HN=HP$ 两式相加，得

由根与系数关系，

而 $|P{|}^2=p^2+1$。代入 (3)，

所以

再代入 (2)，得到 $X=p$。消去 $p$，外心轨迹满足

，等价地写成

反过来，对每个 $p\in \mathbb{R}$，方程 (1) 都有两个不同实根，确能从 $P=(p,-1)$ 作出题设两条切线，所求外心就是上述点。因此轨迹没有缺点。