2026 年培玉原创改编高中数学竞赛 · 第 3 题

解答

1. 用三角参数表示受限椭圆弧段： 设椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ 上的动点为

由题设约束条件

解得参数角 $\theta$ 的精确允许区间为

2. 利用辅助角公式化简目标函数： 将参数表示代入 $f(x,y)=3x+4\sqrt{3}y$，得

3. 核验相角范围与边界可达性： 当 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{6}\right]$ 时，相角 $\phi =\theta +\frac{\pi }{6}$ 的取值范围为

注意到正弦函数 $\sin \phi$ 的全局最大值点 $\phi =\frac{\pi }{2}$（对应 $\theta =\frac{\pi }{3}$，此时 $x=2<2\sqrt{3}$）不在允许区间 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$ 内！ 由于 $y=\sin \phi$ 在 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$ 上严格单调递增，故： - 当 $\theta =0$（即端点 $P_1(4,0)$）时，$g(\theta )$ 取得最小值

- 当 $\theta =\frac{\pi }{6}$（即端点 $P_2\left(2\sqrt{3},\frac{3}{2}\right)$）时，$g(\theta )$ 取得最大值

因此