2013 年辽宁预赛 · 第 15 题

思路

关于角平分线反射会交换两条单位边方向，长度系数不可直接用未归一的边向量交换。正切相等需配合角度范围排除相差半周。

想法从哪来：底边上两点满足对称分段，而A处又有两角相等，先想到两条射线关于内角平分线对称。若沿AB、AC的单位向量作斜基底，底边的分点比例是简单的一次组合，反射则交换两基向量；这会把角条件直接编码成P的方向。再用PD平行AE比较两项系数并消去倍数，得到一条控制分点比例与P位置的等式。目标是B、C两处的角相等，可分别用原三角形两边作基准算正切；交叉相乘后恰回到前一等式。最后利用锐角且P在内部，确认两个角都在锐角范围，才能由正切相等推出普通角相等。

用A为原点，以AB、AC方向为基底；角条件将两方向系数互换。