培玉 · 一试
2026 年重庆预赛
过焦点圆与椭圆的公切线
在平面直角坐标系中，椭圆
的左、右焦点分别为 ，圆 过 且与 相交。 设 与 的某一条公切线与圆 切于点 ， 求 的所有可能值。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
椭圆 在 处的切线是 ，可由代入后判别式为零验证。两条非零系数的直线相同，当且仅当包括常数项在内的系数成比例。
想法从哪来：公切线的两个切点通常不同，若把它们误认成同一点，会额外加上题目没有的条件。先用经过两焦点的圆的对称性，把圆心压到纵轴，只留下一个参数。再分别写圆与椭圆的切线；既然它们是同一直线，就应比较直线系数，而不是强行比较切点坐标。 用椭圆切线的常数项归一化后，可把椭圆切点消掉，剩下圆上切点与圆心的关系。此时再用圆方程消去横坐标，纵坐标便独立出来。算出的纵坐标首先只是必要条件，还需挑合适圆心，分别检查切点存在、两曲线确实相交以及切线关系可逆。
过两个关于原点对称的焦点的圆，其圆心必在 轴上。分别写出圆在 处与椭圆在 另一个切点处的切线方程，再利用“同一直线的系数成比例”消去椭圆切点。
解答
记 ，则 。设圆心为 。 因圆过两个焦点，
即 。
圆在 处的切线为
设同一条直线与椭圆切于 ，则椭圆切线为
由 (1)、(2) 表示同一直线，存在非零实数 ，使
将前两式代入 ，再与第三式平方比较，得
另一方面， 给出
把 (5) 代入 (4)，并使用 ，整理得
由于 ，必有 。
还需验证两个符号都可以出现。取
则圆上存在纵坐标为 的点，因为 ；代入上式可反向验证 其切线也是椭圆切线。同时函数 在 时为负、在 时为正，故圆确与椭圆相交。 类似地取 ，可得到 的情形。因此
复核
推导没有把“圆与椭圆相切”误作题设；使用的是两曲线存在公切线，而它们本身只要求 相交。最后的构造同时检查了圆过焦点、圆与椭圆相交以及公切线存在，故两个值都可达。
方法总结
两条圆锥曲线的公切线问题，宜把各自切线都写成标准系数形式，通过比例关系消去未知 切点。若圆经过一对对称定点，先确定圆心轨迹，通常会显著减少参数。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
同时利用两切线比例与圆上点条件消圆心参数后，还要为y₀=±1验证可相交且有公切线的配置。
已记下，谢谢！