2021 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 10 题

思路

若不使用导数，可把过切点的直线代入该双曲线分支，令交点二次方程在切点处有重根，求得切线斜率。对正数 $u$，$u+1/u\ge 2$ 来自 $(\sqrt{u}-1/\sqrt{u}{)}^2\ge 0$，等号须 $u=1$。

想法从哪来：两个端点若都设自由坐标，切线条件和曲线条件会缠在一起。应先设第二象限的切点：它一旦固定，切线就固定，第一象限的另一个交点也随之确定。注意两象限对应绝对值函数的不同分支，求切线时必须使用切点所在的那一支。 联立切线与第一象限分支后，把交点横坐标除以切点参数，会发现两者比例固定，整个构型只剩一个正尺度。长度便由横向差乘斜率因子给出；平方后出现尺度平方与其倒数平方的和，正好适合基本不等式。得到下界仍须回代等号尺度，检查交点在指定象限、切线确实经过它，才能确认是实际最小值。

设 $Q\left(-a,\frac{1}{a}\right)$（$a>0$），第二象限的曲线是 $y=-\frac{1}{x}$，其导数 $\frac{1}{x^2}$ 给出 $Q$ 处切线斜率。