一试训练题

解答

令 $u=2^x,v=2^y$，则 $u,v>0$ 且 $u\ne v$。由 $u^3-v^3=u^2-v^2$ 约去非零的 $u-v$，得 $u^2+uv+v^2=u+v$。设 $s=u+v,p=uv$，于是 $p=s^2-s$。由 $p>0,s>0$ 得 $s>1$；再由

得 $s<4/3$。

反之，任意 $1<s<4/3$ 使方程 $z^2-sz+s^2-s=0$ 有两个不同实根，且根和、根积都正，所以两个根均正，能作 $u,v$ 并分别取以2为底的对数还原 $x,y$。因此该参数区间既必要又充分。

目标为

在 $1<s<4/3$ 上，$s^2-1$ 为正且严格递增，所以 $T$ 连续严格递减。两端极限分别为1和 $32/81$，均不取到，故 $\boxed{T\in (32/81,1)}$。