2026 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 10 题

思路

半径为 $\rho$ 的圆上两点夹小圆心角 $\theta$ 时，弦长为 $2\rho \sin (\theta /2)$。相邻角间隔总和为 $2\pi$；球不穿透等价于球心距不小于两球半径和。三倍角公式可用于严格确认构造的弦长。

想法从哪来：先别猜小球该排几层。大球半径与容器半径相等，已把大球球心锁到轴线上，高度又恰好放下两个直径，因此大球位置没有自由度。对一个小球先写同时外切两大球的球心距离，作差便知它的球心在中间平面，再结合接触容器侧壁求出唯一半径与球心圆。 这时三维装球退化成圆周放点。规则多边形容易给构造，却不能单独证明最优；应先对任意放法按圆周次序看相邻间隔，总有一段角间隔不超过平均值。把该间隔转成弦长，与球的直径比较取得上界。然后检查规则排列中最短弦长足够，才完成可达性。两次比较都需要明确三角函数所在的单调区间。

两颗大球先锁定小球半径与球心圆，再按球心圆周上的相邻角间隔求最大个数；规则排列只用于证明下界。