培玉 · 一试
2025 年甘肃预赛
单位圆上复数模平方和的最大值
F2填空题复数的几何意义
已知复数 满足 ， 是虚数单位，则
的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
令 ，模长平方展开后只剩单位圆上的线性函数，使用柯西不等式即可求最大值。
解答
令 ，则 。于是
由柯西不等式，
当 时等号成立，故最大值为
复核
等号点满足 ，因而确实对应一个允许的复数 。
方法总结
单位圆约束下线性式 的最大值是 ；复数模长平方常可化为这一模型。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
展开两模平方并用x²+y²=1后仅余−6x+8y的线性式，常规圆上最值给界并可取等。
已记下，谢谢！