2016 年中科大少年班初试 · 第 8 题

解答

$a_n=m$ 等价于 $(m-1/2{)}^2<n<(m+1/2{)}^2$，因此整数指标是 $m^2-m+1,\dots ,m^2+m$，共 $2m$ 项，各贡献 $1/m$。完整块 $m=1,\dots ,44$ 截至 $1980$，贡献 $88$。剩余 $1981,\dots ,2016$ 共三十六项，最近整数均为四十五，贡献 $36/45$。所求为 $\boxed{444/5}$。