一试训练题

解答

取底面坐标为$A=(0,0),B=(101,0),C=(101,101),D=(0,101)$。截面经过四条竖棱上的点，且前三点水平投影不共线，故可唯一写成高度为底面坐标的仿射函数。设四个高度为$a,b,c,d$，四点共面当且仅当$a+c=b+d$；反之任一满足此式的四元组均确定这样的平面。设公共和为$t$。$0\le t\le 101$时，$(a,c)$有$t+1$种，$(b,d)$同样；$102\le t\le 202$时各有$203-t$种。共${\sum }_{k=1}^{102}{k}^2+{\sum }_{k=1}^{101}{k}^2=707506$组。其中全为0与全为101的两组是上下底面，不能分成两部分，须扣除；其余平面高度在某处严格介于0与101，确实切过内部。因此答案为$\boxed{707504}$。