2009 年辽宁预赛 · 第 12 题

复核

利用双曲线关于两坐标轴的对称性，可只看右支并取 $x\ge 2\sqrt{2}$。 记 $P=(x,y)$，则 $y^2=x^2/2-4$；焦半径公式给出

上式也可把焦点 $(\pm 2\sqrt{3},0)$ 代入距离公式并开方核得；右端均非负。 图中 $H$ 是 $P$ 在 $x$ 轴上的投影。由焦半径和与原点距离，得到

当 $x$ 从 $2\sqrt{2}$ 连续增加到 $+\infty$ 时，分母从 $1$ 严格增加并趋于 $\sqrt{6}/2$， 所以 $R$ 连续严格递减，从 $\sqrt{6}$ 趋于但不达到 $2$。 每个 $x\ge 2\sqrt{2}$ 都对应双曲线上的点，故中间值均可达到，所求范围为 $\boxed{(2,\sqrt{6}]}$。最大值在两个顶点达到，左支给出相同范围。