2016 年辽宁预赛 · 第 9 题

解答

$\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=0$ 表明 $C$ 在 $AB$ 的垂直平分线上，故 $CA=CB=L>0$。半角公式给 $\cos C=2{\cos }^2(C/2)-1=3/5$，从而 $\sin C=4/5$。图中 $H$ 在 $BC$ 上且 $AH\perp BC$，所以 $CH=3L/5$、$AH=4L/5$。过 $C$ 的双曲线有 $2a=|CA-CH|=2L/5$、$2c=AH=4L/5$，故离心率 $\boxed{e=2}$。