2026 年福建预赛

解答

作 $AH\perp l$，以 $H$ 为原点、$l$ 为 $x$ 轴建立直角坐标系。设

并设 $B=(u,0),C=(v,0)$。由 $\angle BAC=90^{\circ }$，

故

记 $s=u+v$。经过 $B,C,P$ 的圆可写为

因为将 $y=0$ 代入后所得二次方程的两根恰为 $u,v$。再代入固定点 $P=(p,q)$，得

把（3）代回（2），圆族方程成为

令

则 $Q$ 只由定点 $A,P$ 与直线 $l$ 决定。对点 $Q$，式（4）中 $s$ 的系数为 $-tp+(p/q)tq=0$，而其余部分等于

所以无论 $B,C$ 如何运动，$Q$ 总在 $△BCP$ 的外接圆上。 又 $t<0$，而 $P$ 对应参数 $1$，故 $Q\ne P$。这就证明了所求结论。