2016 年湖南预赛 · 第 13 题

解答

（1）由短轴端点得 $b=\sqrt{3}$，离心率给 $a=2,c=1$，所以 $\boxed{C:x^2/4+y^2/3=1}$。（2）对非竖直焦弦写 $y=k(x-1)$，记两个交点横坐标和、积为 $s=8k^2/(3+4k^2)$、$p=(4k^2-12)/(3+4k^2)$。于是 $(5/2)s-p-4=0$。设 $H=(5/2,0)$，利用 $D=(4,y_A),E=(4,y_B)$，点 $A,E,H$ 的共线条件展开正是 $k((5/2)s-p-4)=0$，点 $B,D,H$ 同理。因此两条连接线都通过 $\boxed{H=(5/2,0)}$。若焦弦竖直，则两端点横坐标均为一，纵坐标互为相反数，两交叉连接线仍在 $H$ 相交。