2017 年辽宁预赛 · 第 1 题

解答

三角形恒有 ${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C+2\cos A\cos B\cos C=1$。题设等价于前三项和为1，所以 $\cos A\cos B\cos C=0$，三角形为直角三角形。若 $C=\pi /2$，目标不超过 $\sqrt{2}$。若 $A=\pi /2$，则目标为 $\sin C+2\cos C\le \sqrt{5}$，在 $\tan C=1/2$ 时等号成立。若 $B=\pi /2$，同样得到上界 $\sqrt{5}$。故最大值为 $\boxed{\sqrt{5}}$，选 B。