2022 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 7 题

解答

三角形内角均在 $(0,\pi )$，故 $\sin B>0$，从而 $0<A<\pi /2$。 由 $\sin B=\sin (\pi /2-A)$，得

若 $B=\pi /2-A$，则 $C=\pi /2$，于是 $\cos A=2\tan (C/2)=2$，矛盾。 因此 $B=\pi /2+A$，$C=\pi /2-2A>0$，故 $0<A<\pi /4$。 由正切差角公式，

分母为正，移项得 $\cos A(1+\tan A)+2\tan A=2$。 因为 $\cos A\tan A=\sin A$，故所求值为 $\boxed{2}$。