同一骨架 2013 年湖北预赛 第 13 题 · P009363
过定点取二次曲线的第二交点时，根积能避免显式解坐标；平行条件再让两方向的二次增量相消，最后留下定点与底边方向之间的双线性正交关系。
椭圆题给内部点并要求底边定向与平分弦；双曲线题反过来用定向底边限制轴比。双线性型不是欧氏点积，且两题都要排除交点合并或直线失去定义的情况。
培玉 · 一试
2025 年广东预赛
双曲线二次交点与平行弦
F4填空题双曲线
已知双曲线
斜率为 的直线 与 的左、右两支分别交于 两点。 点 不在 上，直线 分别交 于另一点 。 若 ，则 的离心率为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
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想想一道相关的题
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思路
将 记为二次型，只是便于展开平方；对应混合项为 。线性函数在两点取相同值，表示两点连线平行于它的等值直线。
想法从哪来：过固定点取第二交点，最自然的坐标不是分别求四点，而是沿每条割线从固定点设同一个参数。已知曲线上交点对应参数一，另一个参数可由根积表示；两个分母的差往往比各自展开简单。 平行条件也应先翻译成线性函数：找一个在原弦上取常数的线性式，另一条弦平行就表示它在两个新交点取同值。由于固定点不在原弦上，这立即迫使两条割线的第二交点参数相等。再利用二次型展开，两分母相等只剩原弦方向与固定点之间的混合关系，进而确定半轴比例。过程中要排除固定点本就在曲线上、第二交点重合使弦无定义的退化。
沿直线 参数化第二交点。二次方程两根之积给出参数，再利用 等价于两个第二交点在平行方向上的截距相同。
解答
对向量 ，记
沿 写点 。方程 关于 是二次方程， 一个根为 ，另一个根 对应点 。由根的乘积，
同理，点 ，且
若 在 上，则两条直线的所谓另一交点都会是 ，直线 无法定义； 故题设蕴含 。
令 。因 ，有 ； 又 。而
对 也有同样的式子。因此 等价于 ，进而等价于 。 由 (1)、(2)，
利用 ，化简为
由于 平行于 ，而 ，上式给出
故 。双曲线离心率为
复核
保证由平行截距相等推出 ；，故 的非零倍数可以约去。代入 时所得离心率大于 ，符合双曲线。
方法总结
二次曲线上的“过固定点取第二交点”是射影变换。用二次型与极化双线性型写根积， 再把平行条件表示成线性函数取值相等，可避免展开四个交点坐标。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需把CD平行AB转成从Q出发两割线的参数相同，再用二次根乘积将其压成Q与AB方向的共轭关系，才能消去全部交点。
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