2025 年福建预赛

解答

设 $D$ 为 $AB$ 的中点，正三棱锥的高 $P{O}_1$ 垂直于平面 $ABC$， $E{O}_2$ 垂直于平面 $ABC$。因为 $E$ 是 $PC$ 的中点，所以 $O_2$ 是 $C{O}_1$ 的中点。

由于 $O_1$ 是正三角形 $ABC$ 的中心，

于是

又因 $EA=EB$，有 $ED\perp AB$；同时 $CD\perp AB$，故 $\angle EDC$ 是二面角 $E-AB-C$ 的平面角。因此

从而 $P{O}_1=2$。

设外接球球心为 $O$，令 $O{O}_1=x$。球心在直线 $P{O}_1$ 上，并且

由 $OC=OP$，得

故球半径

外接球表面积为