培玉 · 一试

专题地图 › 递推数列

2024 年浙江预赛

F3填空题递推数列

已知数列 ${x_{n}}$ 满足

x_{1} = \frac{2}{2}, x_{n + 1} = x_{n} \frac{n ( n + 1 )}{x _{n}^{2} + n ( n + 1 )} (n \geq 1),

则通项 $x_{n} =$ 。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

关键换元为1/x_n平方，既消根式又将乘法递推化为可以裂项累加的差分。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：裂项相消

专题卡：分式递推求通项：取倒数，把它变成等差或等比数列、前缀作差找递推，长和只留首尾