同一骨架 2022 年浙江预赛 · P006916
先沿已知向量选择单位正交方向，把数量积条件变成坐标或坐标乘积，再把向量模写成平方和。最后的一元不等式必须连同符号及取等坐标一起检查。
前题一个坐标就是目标，另两个坐标的乘积由约束决定，需按其符号分类；后题两个投影直接由长度比确定，模长平方成为互为倒数的正项之和。
培玉 · 一试
2023 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 4 题
F2填空题向量的数量积与几何意义
若平面上非零向量 满足 ，，，则 的最小值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
两个给定向量互相垂直，沿其方向建立单位正交基，可将两个数量积条件转为 的两个坐标。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
设 ，，以 为单位正交基。 由数量积条件， 在此基下的坐标为
因此
取 ，，，三个已知条件均成立，且 。 故最小值为 。
复核
等号要求 ，即 ，与所给构造一致；三个向量均非零。
方法总结
正交关系适合用来选择坐标方向；数量积确定分量后，向量模的最值常转为正数的基本不等式，并须验证等号可达。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
已知正交关系直接给出坐标方向，确定两个分量后应用两项基本不等式并构造等号。
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