2018 年河南预赛 · 第 9 题

解答

设 $u=\cos \alpha \in [-1,1]$。原条件等价于 $(u-1)\cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =u$。左边绝对值不超过 $\sqrt{(u-1{)}^2+{\sin }^2\alpha }=\sqrt{2-2u}$，所以 $u^2+2u-2\le 0$，得到 $u\le \sqrt{3}-1$。令 $u_0=\sqrt{3}-1>0$，选 $\alpha =\arccos u_0$，再选 $\cos \beta =(u_0-1)/u_0$、$\sin \beta =-\sin \alpha /u_0$。因 $u_0^2=2-2u_0$，这两值平方和为一，确对应某实角 β，且原线性式为 $u_0$。因此最大值为 $\boxed{\sqrt{3}-1}$。