2026 年广西预赛

解答

在 $1$ 到 $100$ 中，不被 $3$ 整除的数有 $100-33=67$ 个，不被 $23$ 整除的数有 $100-4=96$ 个；既不被 $3$ 也不被 $23$ 整除的数有

个。故满足 $69\mid ab$ 的有序对数为

在这些有序对中，位于对角线 $a=b$ 上的对满足 $69\mid a^2$。由于 $69$ 无平方因子， 这等价于 $69\mid a$；在 $1\le a\le 100$ 中只有 $a=69$，故对角线解有 $1$ 个。

非对角线有序解两两交换配对，因此所求无序区域 $a\le b$ 中的解数为