2017 年中科大少年班初试 · 第 1 题

解答

交点满足 $|x|\le 100$，且原点是一个交点，非零交点正负成对。正根只会在 $(2k\pi ,(2k+1)\pi )$ 内。第一段 $k=0$ 中，$\sin x-x/100$ 严格凹，从零先上升后下降到负值，恰有一个正根。对 $k=1,\dots ,15$，两端为负、峰点为正，且整段严格凹，所以各有两个根。最远峰点 $61\pi /2<100$，而 $31\pi <100<32\pi$，其后到一百属于负半波，已无正根。因此正根共三十一，总数为 $\boxed{63}$。