2016 年全国高中数学联赛一试 · 第 9 题

解答

记三边 $BC=a$、$CA=b$、$AB=c$。由数量积与余弦定理，

代入条件并整理，得到 $a^2+2b^2=3c^2$。因此

因为 $C\in (0,\pi )$，所以

等号要求 $b=\sqrt{2}a$，再由边长关系得 $c=\sqrt{5/3}a$。 取 $(a,b,c)=(\sqrt{3},\sqrt{6},\sqrt{5})$，最大边 $\sqrt{6}$ 小于另两边之和，故确可构成三角形，且满足原数量积条件。 所以最大值为 $\boxed{\sqrt{7}/3}$。