2021 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 3 题

解答

$y=\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=\frac{1}{2}+\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$。当 $\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{\pi }{2}$ 时 $2x-\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$，其间 $\sin$ 取到最大 $1$（在 $\frac{\pi }{2}$）、最小 $\frac{1}{2}$（在 $\frac{5\pi }{6}$），故 $y\in \boxed{\left[1,\frac{3}{2}\right]}$。