2024 年贵州预赛

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题。该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”。意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ABC$ 的三个内角均小于 $120^{\circ }$ 时，使得 $\angle AFB=\angle BFC=\angle CFA=120^{\circ }$ 的点 $F$ 即为费马点；当 $△ABC$ 有一个内角大于或等于 $120^{\circ }$ 时，最大内角的顶点即为费马点。试用以上知识解决下面问题：

(1) 用尺规作图画出下图中 $△ABC$ 的费马点 $F$，保留作图痕迹并写出简单证明；

(2) 已知 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，$\cos 2B+\cos 2C-\cos 2A=1$ 且 $S_{△ABC}=2$。点 $F$ 为 $△ABC$ 的费马点，求

(3) 设 $F$ 为 $△ABC$ 的费马点，$B=\pi /2$，$|FA|+|FC|=m|FB|$，求实数 $m$ 的最小值。