培玉 · 一试
2017 年湖北预赛 · 第 3 题
F4填空题多项式
设函数 （），其中 为互不相同的非零整数，且 ，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
二次多项式的首项系数非零、两根不同，可写成首项系数乘两个一次因子。若整数d整除一，则d只能为正一或负一。
想法从哪来：两个函数值等于各自的三次幂，先把共同的首项三次幂减去，剩下的二次多项式就以两个系数a、b为不同实根。这样不是联立两条三次等式，而是直接用根的因式分解，再比较系数，复杂度立刻降下。因为a本身又是首项系数，比较得到的关系含a加一与另一个整数的乘积；作整式除法后，整数性会迫一个连续整数差整除一，候选只剩极少。除以a加一之前须单列它为零的情况；最后把所得三个系数代回，核非零、互异和两条函数值条件，避免整除筛选留下不合法组合。
将f(x)−x³看作二次式，用互异的a、b作为两个根。
解答
令 。因a≠b且均为根，。比较系数得 、。所以 。a=−1不满足，故 。整数性要求a+1为1或−1；a=0被排除，只剩a=−2，进而b=4、c=16。因此 。
复核
−2、4、16两两不同且非零；代入h(−2)=h(4)=0，满足两个函数条件。
方法总结
根与系数关系结合整除性，可把无限整数参数降成有限候选。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需把 看作二次多项式，利用两个参数同时为零得到因式分解，再结合整系数和互异非零条件筛选参数，评为 F4。
已记下，谢谢！