2014 年陕西预赛 · 第 8 题

解答

取 $B=(-\sqrt{3},0),C=(\sqrt{3},0)$，设 $A=(x,y)$。从 $B$ 到 $AC$ 中点的中线长为 $\sqrt{(x+3\sqrt{3}{)}^2+y^2}/2$，另一条指定中线长为 $\sqrt{(x-3\sqrt{3}{)}^2+y^2}/2$。二者和为六，等价于 $A$ 到 $(-3\sqrt{3},0),(3\sqrt{3},0)$ 的距离和为十二。因此轨迹椭圆长半轴六、半焦距 $3\sqrt{3}$、短半轴三。原三角形须非退化，所以最终为 $\boxed{x^2/36+y^2/9=1,y\ne 0}$。