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2023 年贵州预赛
F3解答题不等式的证明
给定整数 n≥2，求最大的常数 Cn，使得对任意实数 a1,a2,…,an，若 a1+a2+⋯+an=0，则
i=1∑nmin{ai,ai+1}≤Cn1≤i≤nminai,
其中约定 an+1=a1。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
思路
利用 min{x,y}=(x+y−∣x−y∣)/2，把循环最小值和化为序列的总变差。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
试着想起：2022 年新疆预赛 · P006908
（1）若实数 x,y,z 满足 x2+y2+z2=1，求证
∣x−y∣+∣y−z∣+∣z−x∣≤22;
（2）若 2023 个实数 x1,x2,…,x2023 满足
x12+x22+⋯+x20232=1,
求
∣x1−x2∣+∣x2−x3∣+⋯+∣x2022−x2023∣+∣x2023−x1∣
的最大值。
解答
若所有 ai=0，不等式恒成立。否则记 m=miniai<0，由齐次性可令 m=−1。因为 ∑iai=0，
i=1∑nmin{ai,ai+1}=21i=1∑n(ai+ai+1−∣ai−ai+1∣)=−21i=1∑n∣ai−ai+1∣.
设 M=maxiai。循环序列从最小值走到最大值再返回，故
i=1∑n∣ai−ai+1∣≥2(M+1).
又由其余 n−1 项之和至少要抵消一个 −1，有 M≥1/(n−1)。因此
i=1∑nmin{ai,ai+1}≤−(1+n−11)=−n−1n.
还原 m 后即
i=1∑nmin{ai,ai+1}≤n−1nm.
取一个 ai=−1，其余各项均为 1/(n−1)，上式取等号。因此
Cn=n−1n.
复核
由于 m<0，常数增大会使右端更小，所以等号例确实排除了任何更大的常数。
方法总结
循环相邻最小值之和可精确转成总变差；总变差至少是极差的两倍，再用零和条件控制最大值。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
关键是将相邻最小值和改成负的总变差，再由循环往返跨度与零和条件求可达界，并留意最小项为负的常数方向。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：齐次式取比例，归一化、三角不等式
专题卡：齐次式、比值和对称式：归一化或换元，减少变量、循环式、连乘、绝对差：分组、消项或排序后估计
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同一骨架 2022 年新疆预赛 · P006908
环上相邻绝对差之和可以看成总变差，先利用环的闭合结构，再结合归一化约束取界。若原式是相邻最小值之和，可先用精确恒等式转成这一对象。
前题固定平方和，借符号对偶和奇环的切换次数求上界；后题固定零和及最小值，利用从谷到峰再返回的总路程求下界。
培玉 · 一试