2026 年甘肃预赛

解答

设直线为 $y=kx$。代入圆方程得

直线与圆相交于两个不同点的充要条件是

即

设 $A,B$ 的横坐标分别为 $x_1,x_2$。由韦达定理，

于是

求导可得

方程 $F^{\prime }(k)=0$ 在上述区间内只有一个根

函数在 $(-1/\sqrt{3},k_0)$ 上递增，在 $(k_0,1/\sqrt{3})$ 上递减，因此最大值为

另一方面，

而切线情形 $k=1/\sqrt{3}$ 不在允许范围内，所以 $36$ 不能取到。由连续性，$F$ 的值域为

故所求模长的取值范围为