培玉 · 一试
2025 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 4 题
F2填空题复数的概念与运算
设复数 满足 与 均为实数（ 为虚数单位），则 的值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先由第一个实数条件确定虚部，再将第二个条件写成实部的方程。
解答
由 ，可设 ，其中 。于是
它为实数，故 ，即 ，。因此
复核
，，均为实数。第二个实数条件允许结果为零。
方法总结
复数表达式为实数等价于虚部为零，通常先利用较简单的条件减少未知量。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
依次使用两个虚部为零的条件确定复数，再完成乘方与模的计算。
已记下，谢谢！