2014 年黑龙江预赛 · 第 6 题

解答

先补成直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$：$△ABC$ 在 $B$ 处直角，$AB=BC=2$，侧棱 $A{A}_1=B{B}_1=C{C}_1=2$。 从中切去三棱锥 $B-A_1{B}_1{C}_1$，余下的五顶点几何体为 $A,B,C,A_1,C_1$。 这里 $A_{1}B$ 与 $B{C}_1$ 就是前两投影中的虚对角线：由背向切面的正、侧观察方向，它们被原侧面 $AC{A}_1{C}_1$ 遮挡；俯视轮廓仍为直角三角形 $ABC$。 反过来，图中两条虚对角线确定这两个斜棱及切面 $A_{1}B{C}_1$，所以不能把它当作完整三棱柱。 图中为了看清切面，另取能看见该面的空间观察方向；红虚线仅为补成棱柱所添的棱。

由俯视图，底面积 $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$。 正视图为正方形，其横向跨度对应俯视图一条腰，故柱高为 $2$。于是

所求体积为

选 A。也可沿高取截面：距底面 $z$ 处从底三角形中截去相似比 $z/2$ 的角部，剩面积 $2(1-z^2/4)$；这只作构型交叉检验，正式解答不依赖积分。