2026 年湖北预赛

解答

四个互不相同的数字之和至少为

至多为 $9+8+7+6=30$。因 $N$ 是完全平方数，故

设 $M=r^2$，其中 $32\le r\le 99$。若 $N=s^2$ 且 $M/N$ 也是整数平方，则 $r/s$ 为整数，故 $s\mid r$。

当 $N=16$ 时，$4\mid r$，且

结合 $32\le r\le 99$，只需检查

它们的平方依次为

其中只有 $4624$ 的数字和为 $16$，但数字 $4$ 重复，故没有合格者。

当 $N=25$ 时，同理 $5\mid r$ 且 $r^2\equiv 7(\mathrm{mod}9)$，只需检查

其平方为

数字和均不为 $25$。

当 $N=9$ 时，$3\mid r$。逐一检查 $33,36,\dots ,99$ 这 $23$ 个可能的平方根， 其中平方的数字和为 $9$ 的只有

只有 $2304$ 与 $2601$ 的四个数字互不相同。并且

所以合格的四位数恰有

个。