培玉 · 一试

专题地图 › 数列的性质

2025 年广西预赛

函数递推生成数列的最值

F3解答题数列的性质

已知

f (x) = (x - 1)^{2}, g (x) = 4 (x - 1) .

数列 ${a_{n}}$ 满足

(a_{n + 1} - a_{n}) g (a_{n}) + f (a_{n}) = 0, a_{1} = 2.

数列 ${b_{n}}$ 满足

b_{n} = 3 f (a_{n}) - g (a_{n + 1}) .

求 $b_{n}$ 的最大值与最小值。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

通项成为(3/4)^(n−1)后，二次函数最小点1/2通常不在数列上，需只比较跨越顶点的第三、四项而非直接取连续最小值。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：用导数或作差看单调性

专题卡：数列的最大项、最小项：看相邻两项的差、递推整理：平移成等比，取倒数成等差，平方估大小