培玉 · 一试
2022 年甘肃预赛
两袋取币后的条件概率
F2填空题概率
袋子 中装有 张 元纸币和 张 元纸币，袋子 中装有 张 元纸币和 张 元纸币。现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 中剩下的纸币的面值之和大于 中剩下的纸币面值之和的概率为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
两袋纸币原有总面值都为 元，因此比较剩余金额等价于反向比较取出金额。
思路
分别列出两袋取出两张的可能金额即可。
解答
设从 中取出的金额分别为 。两袋原有总金额相同，所以
从袋 取两张共有 种等可能结果，其中
的种数分别为 。从袋 取两张共有 种等可能结果，其中
的种数分别为 。
只有 且 时有 ，故所求概率为
复核
两次抽取分别在不同袋中进行，故可将两袋概率相乘；严格不等号排除了 的情形。
方法总结
当两个容器的初始总量相等时，“剩余量较大”等价于“取出量较小”。先做这一互补转化，往往能显著减少分类数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
两袋初始总额相同，将剩余比较反向转为抽出金额比较，列出各自三类金额后只有一类组合可行。
已记下，谢谢！