易混 2025 年甘肃预赛 · P006210
把表达式解释成长度后，必须辨清所用范数。平方和根式适合向量三角不等式；坐标绝对差之和到直线的估计则由法向量的最大系数控制，不能直接套欧氏点线距离公式。
前题合并三个二维向量后再优化其分量和；后题先以直线关系支撑坐标差，再在椭圆上优化线性式，并分别构造等号点。
培玉 · 一试
2022 年北京预赛
三项根式和的最小值
F3填空题不等式的证明
已知 是 个大于等于 的实数，那么
的最小值写成最简分数后的分子分母之和是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把三个根式分别看成平面向量的长度，再用三角不等式合并；随后只剩一个变量的二次函数。
解答
令
则 ，且三个根式依次为
由平面向量的三角不等式，
记 ，则右端平方为
取 ，即 时，三个向量均为 ，两次不等式同时取等号。因此所求最小值为 ，分子分母之和为
复核
等号点满足 ，并且三向量同向，故闵可夫斯基等号条件满足。
方法总结
循环根式中出现“两项平方和”时，可把每项编码为向量长度，再用向量和压缩变量。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需先取倒数把根式变为(a,1-b)等向量的模，使循环项相加为(t,3-t)，再以一元配方求下界并核同向等号。
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易混 2026 年甘肃预赛 · P005991
向量三角不等式的同一个方向，可以服务于两种不同最值：它给组合向量的模一个上界，也给各向量模的和一个下界。先辨清题目要求哪一边，并把带负系数的组合方向与取等同向条件对应好。
前题在加权范数下两向量的模固定，通过反向原向量实现最大组合模；后题把循环根式编码为欧氏向量长度，通过同向分量合并得到最小长度和。
已记下，谢谢！