2024 年浙江预赛

解答

椭圆在 $P$ 处的切线为 $x+y=4$，故圆心在法线 $y=x-2$ 上。写

则 $A-P=(u-1,u-1)$，所以

又 $F_1=(-2\sqrt{2},0)$。两向量 $\overrightarrow{AO}$、$\overrightarrow{A{F}_1}$ 的叉积绝对值和点积分别为

点积恒正，所以最大化角等价于最大化其正切。对同一 $|u|$，负的 $u$ 给出更小分母，故令 $v=-u>0$。需最大化

其导数符号与 $2+2\sqrt{2}-v^2$ 相同，故

由（1），