一试训练题

解答

$2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$，有$(5+1)(2+1)(1+1)=36$个正因数，故分别整除的有序对共$36^2$个。若$p$在2016中的指数为$e$，则$m,n$中对应指数$(u,v)$应满足$u,v\ge 0,u+v\le e$，共有$1+2+\cdots +(e+1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{e+2}{2}\right)$种。因此$mn\mid 2016$的有序对有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=378$个。所求为$36^2-378=\boxed{918}$。